способ управления пространственным разворотом космического аппарата

Формула изобретения

1. Способ управления пространственным разворотом космического аппарата, включающий определение параметров разворота, формирование и с заданного момента времени приложение разгонного импульса, свободное вращение аппарата, формирование и приложение тормозного импульса, отличающийся тем, что на этапе между разгоном и торможением в дискретные моменты времени t_i > t_i-1 + t_сч, i = 1, 2, 3... сравнивают величину _ост доворота аппарата до конечного углового положения с расчетным значением угла _рас поворота аппарата при торможении, где t_сч - время расчета кинетического момента необходимого для приведения космического аппарата при свободном вращении из текущего углового положения в заданное конечное угловое положение, в случае выполнения условия _ост > _рас рассчитывают указанный кинетический момент сравнивают его с фактическим кинетическим моментом аппарата и при несовпадении указанных кинетических моментов прикладывают к космическому аппарату управляющий момент коррекции до выполнения равенства а с момента выполнения равенства _ост = _рас прикладывают тормозной импульс.

2. Способ по п.1, отличающийся тем, что дискретные моменты времени t_i определяют условием

t_i = t_i-1+t,

где t = const - принятая дискретность по времени max{,t_cч+/2} t T/3;

- время разгона аппарата;

T - заданное время разворота.

3. Способ по п.1, отличающийся тем, что дискретные моменты времени t_i определяют как соответствующие моментам времени, в которые выполняется условие

_i= _i-1-,

где = const - принятая дискретность по углу,



₀ - величина угла разворота, определенная на начало разворота;

_i - величина угла разворота в i-й дискретный момент времени t_i;

- время разгона аппарата;

T - заданное время разворота.

4. Способ по п.1, отличающийся тем, что дискретные моменты времени t_i определяют условием

t_i= t_i-1+t₁-d(i-1),

где d = const - разность арифметической прогрессии



, T - время разгона и заданное время разворота аппарата.

5. Способ по п.1, отличающийся тем, что дискретные моменты времени t_i определяют как соответствующие моменты времени, в которые выполняется условие

_i= _i-1-_i+d(i-1),

где d = const - разность арифметической прогрессии по углу





₀ - величина угла разворота, определенная на начало разворота;

_i - величина угла разворота в момент времени t_i;

- время разгона аппарата;

T - заданное время разворота.

6. Способ по п.1, отличающийся тем, что дискретные моменты времени t_i определяют условием

t_i= t_i-1+t₁q^1-i,

где q = const - знаменатель геометрической прогрессии

1,05 q 2,5;

t₁= T(1-q^-1);

, T - время разгона и заданное время разворота аппарата.

7. Способ по п.1, отличающийся тем, что дискретные моменты времени t_i определяют как соответствующие моментам времени, в которые выполняется условие

_i= _i-1iq^1-i,

где q = const - знаменатель геометрической прогрессии

1,05 q 2,5;

₀ - величина угла разворота, определенная на начало разворота;

_i - величина угла разворота в момент времени t_i;

, T - время разгона и заданное время разворота аппарата.

8. Способ по п.1, отличающийся тем, что величина углов разворота, соответствующие дискретным моментам времени t_i, образуют убывающую геометрическую прогрессию

_i = ₀a^-i,

где ₀ - величина угла разворота, определенная на начало разворота;

_i - величина угла разворота в i-й дискретный момент времени t_i;

a - постоянное число (1,1 a 4).

Описание изобретения к патенту

Изобретение относится к космической технике и может быть использовано для эффективного управления угловым положением космических аппаратов и орбитальных станций.

Наиболее известным способом управления пространственным разворотом космического аппарата (КА) является изменение углового его положения путем выполнения последовательных поворотов на определенные углы вокруг осей, жестко связанных с аппаратом [1] . Возможен следующий порядок разворотов (поворотов) - поворот КА вокруг продольной его оси X до совмещения одной из связанных с КА поперечных осей Y или Z с требуемым ее положением в пространстве Y_к (или Z_к соответственно), а затем поворот вокруг этой поперечной оси до совмещения продольной оси X с заданным положением X [2]. Системы управления, реализующие развороты вокруг связанных осей КА, широко известны и хорошо изучены. При многих достоинствах подобных систем, включая их простоту и надежность, они имеют один существенный недостаток - такие поворотные маневры имеют большую продолжительность и требуют значительных энергозатрат.

Ближайшим по технической сущности является способ управления пространственным разворотом динамически симметричного КА [3], включающий разгон космического аппарата, свободное его вращение и торможение космического аппарата.

Его и принимаем в качестве прототип. При этом способе управления предлагается, что космический аппарат движется по коническим траекториям, совершая при этом регулярную прецессию. Движение состоит из участков, где действует максимальный момент m₀ (участки разгона и торможения КА), и участка свободного движения, на котором управляющий момент равен нулю.

Определяющими характеристиками процесса разворота являются время разгона (торможения) и время свободного движения t_св, которые вычисляются по соотношениям



где

J = 0,5 (J₂ + J₃) - момент инерции КА относительно поперечной оси;

m₀ - величина максимального момента управления;

T - заданное время разворота;

- угол поворота КА вокруг оси прецессии.

Управляющие моменты формируются на участках разгона и торможения исходя из выражения



где

- направление разворота (направление кинетического момента в инерциальном базисе),

_н - кватернион начального положения КА,

- кватернион текущего положения КА.

Знак "+" соответствует участку разгона, а знак "-" - участку торможения. Вектор разворота однозначно определяется начальным _н и конечным _к положениями КА. Символ "o" обозначает операцию умножения кватернионов, а - кватернион, сопряженный кватерниону .

Приведение КА из начального углового положения _н в требуемое конечное положение _к, производится следующим образом. Прежде всего определяется кватернион разворота , исходя из которого вычисляют орт (вектор разворота) и угол поворота с учетом инерционных характеристик КА J, J₁; где J₁ - момент инерции КА относительно продольной оси, _к - кватернион конечного положения КА.

По заданному времени разворота T и углу поворота определяют время разгона . Требуемая величина кинетического момента K₀ определяется по соотношению: K₀= m₀. С момента поступления команды на разворот к КА прикладывают управляющий момент до тех пор, пока величина фактического кинетического момента не станет равна расчетному значению K₀. Здесь В момент времени, когда = K₀, начинается участок свободного движения КА, на котором управляющий момент отсутствует = 0. Через время T- с начала разворота производят торможение КА по закону

.

В момент времени, когда = 0, разворот КА будет завершен.

Недостатком способа-прототипа является низкая точность разворота в случае несимметричного КА и при разворотах на большие углы, так как на участке свободного движения не производится контроль кинематических параметров.

Техническим результатом данного изобретения является существенное повышение точности разворота произвольного КА при относительно низких энергетических затратах.

Указанный технический результат достигается тем, что в предлагаемом способе управления пространственным разворотом космического аппарата, включающем определение параметров разворота, формирование и с заданного момента времени приложение разгонного импульса, свободное вращение аппарата, формирование и приложение тормозного импульса, в отличие от прототипа на этапе между разгоном и торможением в определенные дискретные моменты времени t_i

t_i > t_i-1 + t_сч, i = 1, 2, 3, 4, ...,

где

t_сч - время расчета кинетического момента , необходимого для приведения космического аппарата при свободном его вращении из текущего углового положения в заданное конечное угловое положение; сравнивают угол доворота аппарата до конечного углового положения _ост с расчетным углом поворота аппарата при торможении _рас , в случае выполнения условия _ост>_рас определяют кинетический момент , сравнивают его с фактическим кинетическим моментом аппарата и в случае прикладывают к аппарату управляющий момент, вычисляемый, например, по формуле



где

k - коэффициент усиления (k > 0); [k] = с^-1;

- коэффициент апериодичности 0 1.5; [] = c^-1

до момента выполнения равенства , а с момента выполнения равенства: _ост= _рас прикладывают тормозной импульс.

Указанный технический результат достигается и тем, что в предлагаемом способе по пункту 1 дискретные моменты времени t_i определяют условием

t_i= t_i-1+t,

где

t = const - принятая дискретность по времени;

max{,t_cч+/2} t T/3 ,

- время разгона аппарата;

T - заданное время разворота.

Указанный технический результат достигается и тем, что в предлагаемом способе по пункту 1 дискретные моменты времени t_i определяются как соответствующие моментам времени, в которые выполняется условие

_i= _i-1-,

где

= const - принятая дискретность по углу;



₀ - величина угла разворота, определенная на начало разворота;

_i - величина угла разворота в i-й дискретный момент времени t_i;

- время разгона аппарата;

T - заданное время разворота.

Указанный технический результат достигается и тем, что в предлагаемом способе дискретные моменты времени t_i определяются условием

t_i= t_i-1+t₁-d(i-1),

где

d = const - разность арифметической прогрессии;



Указанный технический результат достигается и тем, что в предлагаемом способе дискретные моменты времени t_i определяются как соответствующие моментам времени, в которые выполняется условие

_i= _i-1-₁+d(i-1),

где

d = const - разность арифметической прогрессии по углу;



Указанный технический результат достигается и тем, что в предлагаемом способе дискретные моменты времени t_i определяются условием

t_i= t_i-1+t₁q^1-i_,

где

q = const - знаменатель геометрической прогрессии;

1,05 q 2,5; t₁ = T(1-q^-1).

Указанный технический результат достигается и тем, что в предлагаемом способе дискретные моменты времени t_i определяются как соответствующие моментам времени, в которые выполняется условие

_i= _i-1-₁q^1-i_,

где

q = const - знаменатель геометрической прогрессии;

1,05 q 2,5;



Указанный технический результат достигается и тем, что в предлагаемом способе величины углов разворота, соответствующие дискретным моментам времени t_i образуют убывающую геометрическую прогрессию

_i= ₀a^-1,

где

₀ - величина угла разворота до начала разворота;

_i - величина угла разворота в i-й дискретный момент времени t_i;

а - постоянное число (1,1 а 4).

Сущность предлагаемого способа заключается в управлении угловым движением КА по методу свободных траекторий. Однако при отсутствии контроля фактического вращения КА до самого начала торможения ошибка переориентации может оказаться недопустимо большой. Уменьшить величину ошибки переориентации возможно за счет приложения импульсов коррекции внутри неуправляемого участка вращения КА. Учитывая, что фактическое движение КА отличается от прогнозируемого незначительно, применяем следующий принцип формирования управляющих моментов в процессе разворота. Он состоит в коррекции траектории движения КА в определенные дискретные моменты времени. Коррекция сводится к определению требуемого для попадания КА в конечное положение _к кинетического момента и сообщения поправочного импульса к имеющемуся кинетическому моменту КА . Вся траектория движения будет состоять из чередующихся управляемых и неуправляемых участков и включать в себя участки разгона и торможения, участки свободного движения и кратковременные участки коррекции траектории. Задача управления состоит в обеспечении для неуправляемых участков таких начальных условий, при которых движение по прогнозу проходит через конечное положение _к. Для этого на начало каждого участка t_i определяется кватернион разворота , по которому определяются требуемые начальные условия ₁₀,₂₀,₃₀ для следующего участка.

Необходимо заметить, что движение КА существенно отличается, от регулярной прецессии (т.к. КА не обладает динамический симметрией) и вектор разворота не может быть найден аналитически. Однако, имея математическую модель фактического КА и применяя метод последовательных приближений, можно определить для любых начального ₀ и конечного _к положений КА и времени разворота T направление вектора кинетического момента , соответствующего траектории свободного движения КА, проходящей через ₀ и _к.

Космический аппарат характеризуется прежде всего инерционными характеристиками J₁, J₂, J₃. Начальное и конечное угловые положения задаются кватернионами _н и _к. Определение орта -вектора разворота, соответствующего полодии, проходящей через начальное и конечное угловые положения, и обеспечивающего перевод КА в заданное положение _к при свободном его вращении, осуществляется методом последовательных приближений. В качестве первого приближения принимается значение вектора разворота, соответствующего развороту динамически симметричного тела на кватернион _p, которое вычисляется в результате решения системы уравнений



где

J, J₁ - моменты инерции КА,

₀,₁,₂,₃ - компоненты кватерниона разворота .

Математическая модель вращательного движения КА имеет вид



где

= {M₁, M₂, M₃] - момент внешних сил,

- вектор угловой скорости,

- кинетический момент КА,

- тензор инерции КА.

Здесь "x" означает векторное произведение векторов.

Моделируя движение КА с начальными условиями



где

- угол поворота, соответствующий вектору разворота ;

J - момент инерции КА относительно поперечной оси;

T - время разворота;

и учитывая, что , определим промах разворота

.

Введя полученный промах в качестве поправки к предыдущему кватерниону разворота, определим новые параметры разворота и соответствующие ему . Схема итерационного процесса проста . Вектор будет определен, когда Sql()>_доп. Направление разворота . Величина кинетического момента определяется управляющими возможностями системы исполнительных органов m₀, моментом инерции относительно поперечной оси J, углом поворота и заданным временем разворота T.

K₀= m₀ ,

где

.

На участках разгона и торможения управляющие моменты максимальны, а на участках коррекции траектории углового движения КА управляющий момент носит импульсный характер.

На участке неуправляемого движения КА (на этапе между разгоном и торможением КА) контроль движения КА осуществляют лишь в определенные дискретные моменты времени t_i. Прежде всего сравнивают угол доворота _ост с расчетной величиной _рас , где _ост= 2arccos_g0,



_д0,_д1,_д2,_д3 - компоненты кватерниона доворота.

Если _ост> _рас, то производят коррекцию углового движения КА путем целенаправленного изменения его кинетического момента. Для этого определяют такое расчетное значение вектора кинетического момента , при котором КА при свободном его вращении из текущего углового положения (t_i) перейдет в заданное конечное угловое положение _к , и затем прикладывают к корпусу КА управляющий момент



до установления равенства . Как только фактический кинетический момент станет равен расчетному значению , аппарат предоставляют самому себе до следующей коррекции (до наступления следующего момента времени t_i). Последовательность времен t_i определяется программой полета, исходя из приоритета решаемых параллельно с разворотом задач, и может задаваться как исходные данные в виде цифрового массива в программно-временном устройстве.

Расчетное значение вектора кинетического момента , где - вектор разворота, K - величина фактического кинетического момента на время t_i.

Определение вектора разворота сводится к решению краевой задачи: ₀= (t_i),(T) = _к при имеющихся дифференциальных связях, накладываемых на движение КА



Таким образом, управление программным разворотом КА в предлагаемом способе сводится к следующему:

1) расчет требуемого значения вектора разворота и сообщение корпусу КА кинетического момента расчетной величины (разгон КА); момент управления формируется по закону



2) свободное вращение КА по падающей траектории ;

3) в дискретные моменты времени t_i, задаваемые программно-временным устройством по какой-либо программе, проверяют условие

_ост> _рас ,

где

_ост - угол доворота космического аппарата до конечного углового положения;

_рас - расчетный угол поворота космического аппарата при торможении;

и в случае его выполнения производят коррекцию траектории вращения КА, которая заключается в определении расчетного значения вектора кинетического момента , необходимого для приведения КА при свободном его вращении из текущего углового положения в заданное конечное угловое положение _к, и приложении к космическому аппарату управляющего момента



где

- фактический кинетический момент аппарата;

k - коэффициент усиления (k > 0);

- - коэффициент апериодичности, 0 1,5;

до совмещения фактического кинетического момента аппарата с расчетным его значением . После выполнения условия происходит свободное движение КА ( );

4) в момент выполнения равенства _ост= _рас начинают гашение угловой скорости КА (торможение КА);

момент управления формируется по закону

,

где

.

Отличительной особенностью предложенных технических решений является наличие математической модели фактически несимметричного КА, а также организация и выполнение на этапе между разгоном и торможением импульсных коррекций движения КА. Расчет требуемого кинетического момента носит итерационный характер и описывается алгоритмом



где

(T) - прогнозируемое угловое положение КА на момент времени T, полученное моделированием движения КА.

При проведении коррекции свободного вращения аппарата момент управления формируется по отклонению кинетического момента . Линейная часть управляющей функции обеспечивает уменьшение отклонения до нуля, а введение в управляющую функцию интегральной составляющей повышает быстродействие коррекции.

Предлагаемое сочетание свободного разворота с кратковременными коррекциями позволяет при довольно низком расходе топлива добиваться большой точности разворота при любых неизвестных возмущениях. Экономичность разворота достигается тем, что на большей части траектории управление отсутствует (), а повышение точности обеспечивается организацией и проведением в определенные дискретные моменты времени t_i кратковременных коррекций углового движения аппарата.

Приводим перечень фигур.

Фиг. 1 - функциональная схема системы для реализации способа;

фиг. 2 - временные диаграммы управляющих воздействий.

Пример реализации предложенного способа представлен фиг. 1, где обозначено 1 - устройство ввода и хранения начального и коечного положений КА (УВХНКП), 2 - блок задатчиков моментов инерции КА (БЗМИ), 3 - устройство ввода времени разворота (УВВР), 4 - бесплатформенная инерциальная навигационная система (БИНС), 5 - блок датчиков угловых скоростей (БДУС), 6 - вычислительное устройство (ВУ), 7 - блок хранения коэффициентов закона управления (БХКЗУ), 8 -программно-временное устройство (ПВУ), 9 - согласующе-преобразующее устройство (СПУ), 10 - исполнительные органы (ИО), при этом первый выход УВХНКП-1 связан с первым входом ВУ-6, второй выход УВХНКП-1 связан с вторым входом ВУ-6, выход БЗМИ-2 связан с третьим входом ВУ-6, выход УВВР-3 связан с четвертым входом ВУ-6, выход БИНС-4 связан с пятым входом ВУ-6, выход БДУС-5 связан с входом БИНС-4 и с шестым входом ВУ-6, выход ВУ-6 связан с входом СПУ-9, первый выход БХКЗУ-7 связан с седьмым входом ВУ-6, второй выход БХКЗУ-7 связан с восьмым входом ВУ-6, выход ПВУ-8 связан с девятым входом ВУ-6, первый выход СПУ-9 связан с исполнительными органами первого канала, второй выход СПУ-9 связан с исполнительными органами второго канала, третий выход СПУ-9 связан с исполнительными органами третьего канала.

В системе автоматически определяется и фиксируется направление кинетического момента в инерциальном базисе , обеспечивающего перевод КА из положения _н в требуемое положение _к за время T с допустимой точностью _доп.

Отметим, что вычислительное устройство производит все математические операции, необходимые для реализации способа, и содержит в себе математическую модель углового движения КА. По начальному и конечному положениям КА и его инерционным характеристикам ВУ-6 осуществляет расчет требуемого кинетического момента по методу итераций. Отклонение прогнозируемого положения КА (T) от требуемого _к определяется путем математического моделирования в ВУ-6. Итерационный процесс



повторяется пока



где

⁽_p⁾ - исходный кватернион разворота, ;

⁽_p^j) - кватернион разворота на j-й итерации.

В качестве вычислительного устройства может быть использована БЦВМ, но тогда в систему необходимо ввести интерфейс сопряжения и обмена информацией с измерительными приборами и исполнительными органами.

Моменты времени t_i, в которые производят коррекцию углового движения КА, задаются программно-временным устройством.

Работает система, реализующая предлагаемый способ управления пространственным разворотом КА, следующим образом. По значениям моментов инерции КА J₁, J₂, J₃ ВУ-6 вычисляет значение момента инерции вокруг поперечной оси J согласно выражению

.

далее по начальному _{н u} и конечному _к положениям КА, заданному времени разворота T и инерционным характеристикам J₁, J₂, J₃ в ВУ-6 осуществляется расчет вектора разворота (путем решения краевой задачи) и соответствующего ему угла поворота . Исходя из него ВУ-6 определяет время разгона по выражению:



и расчетную величину кинетического момента K₀= m₀ .

В исходном состоянии выход вычислительного устройства замаскирован и . В момент поступления команды на разворот ВУ-6 формирует управляющий момент , который прикладывают к КА посредством ИО-10. Расчет текущего кинетического момента ВУ-6 производит непрерывно по показаниям ДУС-5 и моментам инерции J_j:K_j= J_jj . Как только КА будет сообщен кинетический момент расчетной величины K₀, выход ВУ-6 маскируется, управляющие моменты отсутствуют и КА производит свободное вращение. В момент времени t_i, определяемый тактовым импульсом с выхода ПВУ-8, ВУ-6 определяет величину угла доворота _ост= arccos_go и сравнивает его с расчетной величиной



Если _ост> _рас , то ВУ-6 фиксирует кватернион разворота из текущего углового положения в заданное конечное _к , исходя из которого методом последовательных приближений рассчитывает вектор разворота и расчетное значение вектора кинетического момента , где K - величины фактического кинетического момента на момент времени t_i. ИО-10 сообщают КА корректирующий импульс путем приложения управляющего момента

,

рассчитываемого в ВУ-6.

Как только , выход ВУ-6 маскируется, управляющие моменты отсутствуют и КА производит свободное вращение до следующего момента времени t_i. В момент равенства углов _ост= _рас производят торможение КА; управляющие моменты формируются исходя из выражения

.

Когда , выход ВУ-6 маскируется, исполнительные органы отключены, разворот завершен. Система готова к следующему развороту КА.

Временные диаграммы приведены на фиг. 2.

Данная схема разворота снижает влияние внешних возмущающих моментов на точность разворота. Расход рабочего тела на корректирующие импульсы незначителен.

Моменты проведения коррекций t_i могут определяться и автоматически самой системой управления по какому-нибудь закону (или рекурентному соотношению). Простейшим является случай, когда коррекции следуют с равной частотой, т.е. интервал между соседними дискретными моментами времени t_i постоянный t = t₁ - t_i-1 = const. Принятая дискретность по времени t ограничена снизу не только быстродействием ВУ-6, характеризующимся временем расчета t_cч, но и временем разгона (т.к. за меньшее время отклонение фактического движения КА от расчетного незначительно и расчет будет бессмысленным). Но t/ ограничена и сверху заданным временем разворота T. Исходя из того, что одной коррекции свободного вращения КА, как правило, недостаточно для обеспечения приемлемой точности разворота, минимальное число коррекций принимаем равным 2. Отсюда

max{,t_cч+/2} tT/3,

где

t₀ - время окончания участка разгона КА.

Для этого случая реализации в качестве ПВУ-8 может выступать генератор тактовых импульсов (с заданной частотой их выдачи f = t^-1 ).

Иногда желательно контролировать движение КА по угловому рассогласованию

.

Пусть = _i-_i-1= const , где



величина угла разворота в момент времени t_i. Повышение точности разворота может быть достигнуто путем увеличения числа коррекций траектории движения КА. В этом случае не превышает ₀/3 ; . С другой стороны, независимо от заданного времени разворота T дискретность по углу должна быть не менее угла поворота КА на этапе разгона _раз , который связан с временем разгона соотношением _раз= _p/2 , где средняя угловая скорость _p оценивается величиной _{p 0}/T . Таким образом,

0,5₀/T₀/3.

Для повышения точности управления формирование управляющих моментов с целью коррекции вращательного движения КА следует производить несколько чаще по мере приближения КА к требуемому положению _к . Например, длительность интервала между соседними моментами времени уменьшаем по арифметической прогрессии:

t_i= t_i-1-d ,

где

t_i = t_i - t_i-1; d = const.

Аналогичный принцип определения моментов проведения коррекции возможен и по шкале углов:

_i= _i-1-d ,

где

_i= _i-_i-1; = const

Величину d и время неуправляемого участка (время до первой коррекции t₁ выбираем из требования, чтобы время между последними коррекциями было не меньше времени разгона .

Для угловых величин условия реализуемости будут следующими:



Обычно число коррекций n пропорционально углу разворота ₀ , поэтому d 0,5₀/T . Величина ₁ определяется из предположения, что d максимально d_max= 0,5₀/T , откуда

.

Значение d определяется из пропорции d : T = d:₀, откуда . Для предельного d_max = d/2 получим .

При d = 0 или d = 0 получим частный случай равномерной последовательности чисел t_i (или _i ).

Представляется возможным задать и более сложный закон формирования моментов выдачи корректирующих импульсов t_i, который учитывает фазу разворота (по времени с окончания разгона КА или по оставшемуся углу до конечного положения). Принимаем, что длительность интервала между соседними моментами времени t_i уменьшается по геометрической прогрессии

t_i= t_i-1/q , q = const, q > 1.

Условием осуществимости разворота в этом случае будет

+t₁/(1-q^-1)T

для чего достаточно положить t₁= T(1-q^-1) . Аналогично можно потребовать, чтобы разность углов разворота _i , соответствующих соседним дискретным моментам времени t_i, уменьшалась по геометрической прогрессии

_i= _i-1/q , q = const.

Для угловых величин получим аналогичные соотношения:

_{0 раз}+₁/(1-q^-1) или ₁/(1-q^-1)₀ ;

откуда

.

Постоянная q всегда больше 1. Зададим ₁ 0,6₀ (или t₁ 0,6T) и получим верхнюю границу q_max = 2,5.

Рассмотренные схемы разворота снижают влияние случайных факторов на точность разворота.

В ряде случаев оказывается предпочтительным логарифмический (или показательный) закон изменения углов _i , при котором _i= _i-1/a , где а - некоторое постоянное число (а > 1). Чтобы коррекции свободного движения КА не были слишком частыми а_min = 1,1. Максимальное его значение выбираем с помощью численного эксперимента а_max 4.В результате d [1,1; 4], при котором происходит несколько коррекций и обеспечивается необходимая степень точности разворота КА.

Эффективность предлагаемого способа определяется прежде всего тем, что на большей части траектории движения управляющий момент равен нулю, что экономит топливо. Вместе с тем способ предполагает принцип управления по отклонению при подходе к заданному угловому положению _к , чем и обеспечивает высокую точность разворота в условиях действия значительных внешних возмущающих моментов.