способ составления ледовых карт

Формула изобретения

Способ составления ледовых карт, включающий получение спутниковых изображений ледовых полей, операции сегментации и интерпретации изображений, картирование с выполнением интерактивного анализа и количественных оценок, индикацию изображений в виде символов, в котором символы представляют как внутренние точки ледового поля, а кодированные цифровые значения в заданной точке определяются как вещественные плановые координаты внутренних точек, направленные на восток и север соответственно, а форма линий эквидистант между заданными точками определяется по коэффициентам всплеск-разложения для заданного масштаба карты, определение характеристик подстилающей поверхности выполняют путем сравнения полученных картографических изображений с полученными изображениями за аналогичный сезонный период, посредством эквивалентных технических средств, отличающийся тем, что выявляют точки на ледовых полях с характеристиками, превышающими по своему значению характеристики остальных точек, относительно выявленных точек на ледовых полях с характеристиками, превышающими по своему значению характеристики множества остальных точек, восстанавливают контур ледового поля по расположению множества остальных точек относительно точек с характеристиками, превышающими по своему значению это множество точек, путем построения метрики Хаусдорфа с последующим получением кластеров в соответствии с зависимостью между длинами периметров кластеров и их площадью, отображение ледовых полей выполняют в соответствии с комбинаторной моделью отображения, в зависимости между длинами периметров кластеров и их площадью, с разделением кластеров на каждом тематическом ледовом слое по плотности измеренных элементов, генерализацию ледовых полей выполняют путем построения численной модели при условии, что их площади остаются постоянными, а длины ледовых полей, составляющие периметр ледового поля изменяются по степенному закону.

Описание изобретения к патенту

Изобретение относится к области картографии, а более конкретно к составлению ледовых карт, полученных путем съемки ледовых образований, посредством технических средств, установленных на летательных аппаратах.

При составлении ледовых карт спутниковые изображения интерпретируются визуально.

Информация о морских льдах заносится в базы данных в виде растровых графических и векторных цифровых ледовых карт. Основным назначением ледовых карт является максимально точное отображение пространственного распределения и характеристик ледяного покрова на морях, а именно зон различной общей сплоченности, частной сплоченности возрастных стадий льда, ледяных полей, каналов, разводий и других явлений и образований.

Известные способы составления ледовых карт (Научные исследования в Арктике. Том 3. Дистанционное зондирование морских льдов на северном морском пути: изучение и применение / Йоханнессен О.М., Александров В.Ю., Фролов И.Е. и др. СПб.: Наука. 2007, с.238-244 [1]) включают получение спутниковых изображений ледовых полей, операции сегментации и интерпретации изображений, а также картирование, выполняемые экспертами на основе визуального интерактивного анализа и глазомерных количественных оценок.

Электронная ледовая карта формируется как совокупность слоев, представляющих распределение данных о состоянии ледяного покрова. В зависимости от геометрических свойств определяемых объектов слои данных могут быть следующих типов: полигоны (участки), линии или точки. В слоях полигонного типа представляются основные (зоны припая и дрейфующего льда различной сплоченности и/или возраста) и дополнительные зоны распределения льда. В слоях линейного типа представляется информация о распределении объектов ледяного покрова, таких как трещины, каналы и т.д. В слоях точечного типа представляются объекты, которые слишком малы для нанесения на карту реального масштаба, такие как стамухи, айсберги и т.д.

Интерактивное картирование ледовой обстановки реализовано на языке программирования Avenue в геоинформационной системе Arc View, которая обеспечивает географическую привязку и трансформирование изображений с AVHRR NOAA в единую стереографическую проекцию, формирование частных изображений или мозаик нескольких изображений, создание привязочного, так называемого world-файла.

Каждый слой электронной ледовой карты записывается в формате отдельного шейп-файла. Структура атрибутивных данных включает различные коды зимней и летней цветовой заливки ледовых зон разной общей сплоченности и коды для стадий развития льда. Каждый объект слоя связан с атрибутивными данными посредством идентификатора, что позволяет устанавливать связь между пространственными свойствами ледового объекта, или полигона, и его характеристиками.

Для построения ледовых карт по многоканальным спутниковым изображениям AVHRR NOAA в качестве основных используются изображения тех спектральных каналов или их комбинаций, которые наиболее информативны и на которых в меньшей степени сказывается влияние помех от облачности и атмосферной дымки. Результирующее изображение синтезировано на основе квазицветного изображения (RGB).

Процедуры интерпретации РСА-изображений и картирования льдов основаны на субъективном анализе и оценках. Поэтому желательно автоматизированная интерпретация основных навигационных характеристик морских льдов по спутниковым изображениям, таких как возрастные виды льдов и их сплоченность.

Данная необходимость обусловлена тем, что при переносе изображений контурных точек с фотоснимка на топографическую карту (авт.св. СССР № 1271198 [2]), включающем выявление изменений в положении контурных точек на местности, определение масштаба переноса изображений, выявляется невысокая степень достоверности сохранения графического подобия линейных изображений, так как при изменении масштаба карты с воспроизведением линейных изображений по контурным точкам снижается геометрическая точность расположения линий.

При отображении двумерных распределений в непрерывную полутоновую форму с дальнейшим их представлением в форме линий эквидистант путем оптического моделирования с кодированием цифровых значений признаков в заданной точке планшета оптическими символами в виде равновеликих пятен с оптической плотностью, пропорциональной величине признака (авт.св. № 640113 [3]), также не решается в полном объеме данная проблема, несмотря на что за счет кодирования цифровых значений признаков в заданной точке планшета оптическими символами в виде равновеликих пятен с оптической плотностью, пропорциональной величине признака, обеспечивается возможность восстановить детали географических объектов.

Однако при переносе оптических символов с последующим отображением двумерных распределений в непрерывную полутоновую форму с дальнейшим их представлением в форме линий эквидистант через параметры генерализации, которыми являются радиусы эквидистант преимущественно при малых масштабах, уменьшается геометрическая точность расположения деталей географических объектов, что снижает достоверность картографического отображения.

Задачей заявляемого технического решения является повышение достоверности картографического отображения ледовых полей при его переносе с изменением масштаба.

Поставленная задача достигается за счет того, что в способе составления ледовых карт, включающем получение спутниковых изображений ледовых полей, операции сегментации и интерпретации изображений, картирование с выполнением интерактивного анализа и количественных оценок, индикацию изображений в виде символов, в котором символы представляют как внутренние точки ледового поля, а кодированные цифровые значения в заданной точке определяются как вещественные плановые координаты внутренних точек, направленные на восток и север соответственно, а форма линий эквидистант между заданными точками определяется по коэффициентам всплеск-разложения для заданного масштаба карты, определение характеристик подстилающей поверхности выполняют путем сравнения полученных картографических изображений с полученными изображениями за аналогичный сезонный период посредством эквивалентных технических средств, отличающийся тем, что выявляют точки на ледовых полях с характеристиками, превышающими по своему значению характеристики остальных точек, относительно выявленных точек на ледовых полях с характеристиками, превышающими по своему значению характеристики множества остальных точек, восстанавливают контур ледового поля по расположению множества остальных точек относительно точек с характеристиками, превышающими по своему значению это множество точек, путем построения метрики Хаусдорфа с последующим получением кластеров в соответствии с зависимостью между длинами периметров кластеров и их площадью, отображение ледовых полей выполняют в соответствии комбинаторной моделью отображения в зависимости между длинами периметров кластеров и их площадью, с разделением кластеров на каждом тематическом ледовом слое по плотности измеренных элементов, генерализацию ледовых полей выполняют путем построения численной модели при условии, что их площади остаются постоянными, а длины ледовых полей, составляющие периметр ледовых полей, изменяются по степенному закону.

Работы по созданию автоматической генерализации ведутся с 50-х годов XX века.

В подавляющем большинстве они носят экспериментальный характер (Берлянт A.M., Мусин О.Р., Собчук Т.В. Картографическая генерализация и теория фракталов. М.: МГУ, 1998, 136 с. Берлянт A.M. Картография. Аспект Пресс, 2002, 336 с.).

Сложность формализации генерализации можно объяснить тем, что процесс картосоставления является процедурой синтеза, тогда как все методы формального анализа являются процедурами анализа.

С неформальной точки зрения генерализация должна обеспечить неизменность графического восприятия геопространственного поля при изменении масштаба карты. Образ любого геопространственного поля складывается из закономерных сочетаний разнообразных неоднородностей, каждая из которых имеет строго определенный естественный рисунок, графическую форму. Поэтому генерализация должна обеспечивать инвариантность графического образа по двум условиям. Первое - обеспечить инвариантность графического поля в своей совокупности, т.е. сохранить восприятие пространственной структуры «кластеров» геопространственного поля. Второе - обеспечить инвариантность восприятия графического образа каждого отдельного элемента. Стремление к сохранению постоянства «нагрузки геопространственного образа поля» при уменьшении масштаба карт является главным требованием генерализации. Следующим по важности требованием генерализации является сохранение графического подобия пространственного объекта.

В современных ГИС задача генерализации не нашла своего решения ввиду того, что происходит формальное (механическое) уменьшение, при котором изменение масштаба изображения, «нагрузка геопространственного поля не изменяется», а подобие формы фигуры сохраняется лишь до некоторого шага изменения масштаба карты (Жуков Ю.Н. Искажения структурных особенностей полей гидрометеорологических характеристик при их визуализации в электронных геоинформационных системах. // Навигация и гидрография. 2003, № 3).

В принципе, простые геометрические фигуры при уменьшении должны оставаться подобными самим себе достаточно долго, и критерии их подобия хорошо известны из курсов элементарной планиметрии. На самом же деле с природными объектами это происходит не совсем так. Дело в том, что при механическом уменьшении относительно долго сохраняют свой географический образ лишь изометричные объекты в плане формы. С уменьшением в пределе они стремятся превратиться в точку. А потеря информации об «их форме» происходит преимущественно за счет потери сведений об исходной извилистости их контура.

Иначе обстоит дело с объектами, имеющими в плане удлиненную форму. При уменьшении они сначала превращаются в линию, и только затем линия «стремится стать точкой». При этом происходит не только потеря информации об изначально малых «извилинах контура», но и определенная геометрическая деформация.

Формирование набора тематических слоев карты зависит от контекста использования карты и этот контекст, определяемый внешними условиями, «параметризует» процедуру генерализации конкретного тематического слоя, входящего в тематический набор. Поэтому автоматизированная процедура генерализации должна иметь «свободные» параметры, управляющие процессом генерализации.

Анализ изменения нагрузки карты при генерализации для объектов некоторого тематического слоя показал, что в самой общей форме процедуру генерализации можно представить в виде отображения F

где _М - множество геопространственных объектов тематического слоя в исходном (наиболее крупном) масштабе М, _М - множество геопространственных объектов в масштабе генерализации М (М>М ).

При этом необходимо установить, каким основным свойством должно обладать отображение F для того, чтобы быть претендентом на отображение генерализации. Ввиду того что должно соблюдаться сохранение «нагрузки» в графической форме геопространственного поля, должно выполняться условие, что F должно обладать свойством «самоподобия», которое в формальной интерпретации соответствует наличию неподвижной точки у F, что в свою очередь требует непрерывности F.

По смыслу понятия генерализации отображение F должно обладать свойством «расфокусировки зрения», т.е. уменьшением разрешающей способности, так как величина масштаба М обратно пропорциональна величине элемента пространственного разрешения. Отображение F должно моделировать потерю разрешения с уменьшением масштаба. Моделью F может служить следующая конструкция, которая приводит к явному виду F, обладающему непрерывностью и, по теореме Брауэра, неподвижной точкой.

Без ограничения общности положим, что все пространство карты исходного масштаба М площадью S разделено на единичные элементарные пространственные ячейки одинакового размера s, соответствующие разрешению масштаба М. Любой объект одного тематического слоя обладает пространственным размером. Если объект присутствует на масштабе М, он различим на этом масштабе и, следовательно, занимает хотя бы одну ячейку. Введем параметр p - плотность объектов, характеризующий «нагрузку» геопространственных объектов на тематическом слое, и равный относительной доле занятых ячеек. Если объект занимает ячейку, то эта ячейка получает значение +1 (признак визуализации), в противном случае - значение -1. Предположим, что элементарная ячейка, имеющая значение +1, является независимым вероятностным событием. Тогда можно считать, что значение +1 встречается на карте слоя с вероятностью р. Следовательно, значение -1 будет встречаться с вероятностью q=(1-p). При таких условиях отображение F будет соответствовать переходу карты от разрешения с ячейкой 5 к карте с разрешением s (s<s ), соответствующему масштабу М . Положим, что одна ячейка s содержит b² ячеек s (b 2, - натуральное). При таком переходе отображение F будет определяться правилом агрегации набора ячеек s, составляющих одну ячейку s , т.е. правилу приписывания значения +1 или -1 ячейке s , по набору значений для включающих ячеек s. В результате такой агрегации результирующая вероятность появления значения +1 в ячейке s будет равна p , в общем случае не равном исходному значению р.

Для конкретизации зависимости p от p и изучения свойств этой зависимости построим комбинаторную модель отображения

Пусть однократное применение F означает переход от карты с ячейкой s к карте с ячейкой s =b²s при условии, что ячейке s приписывается значение +1, если число занятых входящих в нее ячеек s больше или равно n (1 n N=b²). Тогда для (2) можно записать

где - число сочетаний из N элементов по k, I_p( ) - неполная бета-функция.

Общие свойства преобразования (2) можно установить путем анализа (3). Параметр b определяет величину изменения масштаба. Например, при b=2 однократное применение (3) приводит к увеличению масштаба в два раза, при b=3 - в три раза. Можно рассматривать композицию преобразования (3).

Выражение (3) непрерывно зависит от p, поэтому по теореме Брауэра оно должно иметь неподвижную точку. Только для неподвижных точек выполняется условие

при котором генерализация не изменяет «нагрузку» карты, т.е. визуальный образ карты остается самоподобным. При всех других значениях p p_* визуальный образ геопространственной структуры карты отклоняется от исходного. Иллюстрировать это можно на конкретном примере.

Изменение «нагрузки» карты до и после однократного применении (3) определим разностью

Для случая b=2 и b=3 функция (4) при различных значениях n представлены на фиг.1 и 2, соответственно. Из чертежей следует, что выражение (3) имеет от двух до трех неподвижных точек. Этим точкам на чертежах соответствуют нулевые значения графиков функции (4), тривиальные неподвижные точки при р ₀=0 и р₁=1 и нетривиальная неподвижная точка при 0<р_*<1. Численные оценки нетривиальных значений p_* для b=2 и b=3 приведены в таблице 1. Графики функции w(p) при b=2 для значений n=1, 2, 3, 4 представлены на фиг.1.

Таблица 1
Численные оценки нетривиальных значений р*.
n	2	3	4	5	6	7	8	9
b=2	0.14	0.36	0.51	-	-	-	-	-
b=3	0.03	0.12	0.21	0.29	0.36	0.41	0.47	0.51

Графики функции w(p) при b=3 для значений n=1, , 9 представлены на фиг.2.

Согласованность построенной модели интуиции объясняется следующим. Для двух возможных крайних случаев - для карты с полным отсутствием объектов (р=0) и для карты, полностью заполненной объектами (р=1), очевидно, что 0=F(0) и 1=F(1) соответственно при любом n. Если каждый объект исходной карты оставляется (n=1), то «нагрузка» карты увеличивается при любом р. Эта стратегия генерализации соответствует ситуации, когда даже из одной льдины можно получить ледовое поле при последовательном применении F.

Вариант отображения при n=N соответствует генерализации, когда только группа льдин из N штук и более превращается в ледовое поле. При этом, если исходная плотность льдин на карте больше р_*, то суммарная площадь ледового поля постоянно увеличивается с увеличением числа итераций применения F. Если же исходная плотность льдин на карте меньше p_*, то суммарная площадь ледового поля постоянно уменьшается с увеличением числа итераций применения F. Суммарная площадь ледовых полей не будет меняться при генерализации только при таком значении n, значение р_* для которого равно исходной плотности отдельных льдин.

Наличие в общем случае нетривиальных точек в преобразовании F объясняет проблемы генерализации. Трудность процедуры генерализации F определяется тем, что нетривиальные неподвижные точки являются отталкивающими точками - репеллерами, тривиальные точки притягивающими точками - аттракторами для последовательности итераций F. Графическая иллюстрация этого дана на фиг.3, на которой представлен обобщенный график зависимости (3). Если первая итерация F инициируется значением p<p_*, то последовательное применение F с необходимостью приведет к точке р=0, если же первая итерация F инициируется значением p>p_*, то последовательное применение F приведет к точке р=1. На фиг.3 последовательность изменения p на каждом итерационном шаге графически изображается стрелками перехода.

Адекватность предложенной модели генерализации подтверждается следующими свойствами (3). С одной стороны, выражение (3) представляет собой не что иное, как частный вероятностно-комбинаторный вид преобразования перенормировки (ренорм-группа).

В теории перколяции (Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, теория, приложения, алгоритмы. - М.: Едиториал УРСС, 2002. 112 с.) доказывается, что такое преобразование с параметром р_* приводит к образованию совокупности геометрических объектов, обладающих самоподобной кластерной структурой. Такая структура имеет степенной (скейлинговый) закон распределения кластеров по размерам. Длины L периметров кластеров являются степенной функцией от масштаба

где А, D>1 - действительные постоянные. Зависимость между длинами периметров кластеров и их площадью S также имеет скейлинговый закон

где B - действительная константа. Другими словами, генерируемая (3) с параметром р_* структура объектов, с одной стороны, является самоподобным фракталом. С другой стороны, что эмпирически подтверждено (в том числе на основе карт), что графические образы естественных геопространственных полей являются фракталами (Берлянт A.M., Мусин О.Р., Собчук Т.В. Картографическая генерализация и теория фракталов. М.: МГУ, 1998, 136 с., Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с., Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.). Таким образом, построенная математическая модель воспроизводит свойства наблюдаемой графической структуры естественных геопространственных полей.

Преобразование (3) является инвариантным преобразованием для фрактальных структур при p=р_*, а при значениях р р_* инвариантность отсутствует.

Из (6) и (7) следует, что при генерализации длины линейных объектов должны изменяться по степенному закону, а площади должны оставаться постоянными. Эти закономерности наблюдаются, например, при экспертной генерализации (Собчук Т.В. Опыт применения теории фракталов для картографической генерализации. // Взаимодействие картографии и геоинформатики.- М.: Научный Мир, 2000. с.57-64).

На практике при построении карт экспертным способом осуществляется сознательное нарушение законов генерализации путем уменьшения нагрузки карты для одних слоев и увеличения для других. Это делается для обеспечения тематической направленности карты или если этого требует сложившаяся практика. Примером последнего обстоятельства является нарушение генерализации речных русел. Ясно, что при уменьшении масштаба длина основной реки должна уменьшаться, однако принято ее сохранять.

Полученная модель генерализации описывает основные свойства этой картографической операции. На ее основе можно реализовать численную модель имитации генерализации. Свойства этой модели могут быть использованы при разработке автоматизированных алгоритмов генерализации для конкретных типов геопространственных полей с учетом их машинных форматов представления. При этом для одного из многих частных случаев разработанная модель может быть использована в качестве прямого метода генерализации. Это допустимо для растровых изображений контрастных геопространственных полей, например, для генерализации снимков полей морского льда, полученных с искусственных спутников Земли.

В последнее время для анализа и визуализации геопространственной информации широкое распространение получили ГИС-технологии. Для представления пространственной информации средствами ГИС одним из основных является способ построения изолиний, при этом для построения изолиний полей различной природы используются разнообразные численные методы пространственной интерполяции. Поскольку различные интерполяционные алгоритмы дают разное положение изолиний, возникает задача оценки их близости. На основе такой оценки можно определить степень сходства различных карт по степени близости положения изолиний на них.

Применительно к ледовым полям задача формулируется следующим образом. Задано фиксированное значение уровня некоторой геопространственной функции, представляющее собой ледовое образование, например, полученное по коэффициентам теплового отражения или по изменению коэффициентов отражения от подстилающей поверхности зондирующих сигналов посредством соответствующей аппаратуры, установленной на ИСЗ, и в результате их обработки построены для него две различные системы изолиний. Необходимо количественно оценить степень близости этих систем. Причем процедура оценки должна быть легко реализована программными инструментами ГИС.

Отличие данной задачи от разнообразных задач по определению близости (погрешностей) в местоположении каких-либо точек, которые применяются в традиционной картографии, состоит в том, что две сравниваемые изолинии представляют собой два множества точек, и необходимо определить близость между этими двумя множествами. Причем свести оценку близости между положением двух изолиний к оценке близости между двумя точками невозможно, поскольку нет никакого способа найти соответствие между точками рассматриваемых изолиний. Действительно, если на одной изолинии выбрать некоторую точку, то нельзя найти соответствующую ей на другой. Задача осложняется тем, что в общем случае на сравниваемых картах не только положение изолиний фиксированного уровня будет разным, но различно и число изолиний. Кроме того, изолинии, полученные разными интерполяционными процедурами, могут иметь точки пересечения.

Очевидно, что для решения поставленной задачи необходимо использовать понятие «расстояния». Можно попытаться определить «расстояние» между двумя множествами точек изолиний А и В как минимальное «расстояние» между точкой множества А и точкой множества В, а именно , где а А, b В и d - расстояние, или как максимальное «расстояние» . При таком определении в обоих случаях d(A,B)=d(B,A). Однако в контексте поставленной задачи применение этих расстояний не имеет смысла. В самом деле, если использовать минимальное расстояние, то при сравнении положения двух изолиний все пересекающиеся хотя бы в одной точке изолинии будут иметь нулевое расстояние между ними, как бы далеко они не расходились в других точках. При использовании максимального расстояния возникает проблема, связанная с тем, что на сферической поверхности Земли между любыми двумя точками существует как минимум два возможных расстояния, определяемых по большой окружности, на которой лежат точки. В случае нескольких изолиний, соответствующих фиксированному уровню, или при разном их количестве оба эти определения не имеют смысла.

С формальной точки зрения, определенные выше «расстояния» не являются «мерой длины». В математике принято вместо выражения «расстояние» (мера длины) использовать термин «метрика», обобщающий и конкретизирующий понятие «меры длины». Для метрики существуют требования (аксиомы), которым она должна удовлетворять, т.е. метрикой на множестве X называется вещественная функция d(x,y), определенная на декартовом произведении Х×Х и удовлетворяющая следующим аксиомам:

а) d(x,y) 0 для всех х, y Х;

б) d(x,y)=0 влечет х=y;

в) d(х,y)=d(y,x);

г) d(A,C) d(A,B)+d(B,C) для всех x, y, z X (неравенство треугольника).

Приведенные выше варианты изолиний, для которых невозможно осмысленно оценить степень их близости на основе минимального и максимального расстояния, являются следствием нарушения этих аксиом. В частности, для этих вариантов не выполняется аксиомы (б) и (г).

Для установления границ ледовых полей нельзя использовать и определение расстояния между двумя кривыми, характеризующими ледовые поля, которое используется в интегральной геометрии (Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. - М.: Наука, 1983. 358), основанное на том допущении, что пусть С₁ и С ₂ - две кривые на плоскости и пусть N₁(G) и N₂(G) обозначают число точек, в которых они пересекают произвольную прямую G. Расстояние между С₁ и С ₂ определяется интегралом:

взятым по всем прямым на плоскости. Это расстояние неприменимо для решения поставленной задачи по двум причинам. Во-первых, оно определено только для двух кривых, тогда как в рассматриваемой задаче изолинии фиксированного уровня могут представлять несколько кривых, а, во-вторых, нельзя конструктивно вычислить интеграл (8).

Расстоянием, удовлетворяющим условиям поставленной задачи, является метрика Хаусдорфа. Эта метрика определяет расстояния между двумя множествами точек, причем для нее не существует ограничений ни на число сравниваемых кривых, ни на их расположение относительно друг друга.

Метрика Хаусдорфа определяется следующим образом (Хаусдорф Ф. Теория множеств. М. - Л.: 1937. 445 с). Определим расстояние между некоторой точкой и множеством точек изолинии А в виде (фиг.4)

Здесь означает какое-либо расстояние между двумя точками, например, обычное евклидово расстояние или расстояние, определяемое на сфере и т.д. Строго говоря, следует использовать inf вместо min в определении (9). Однако так как множество точек изолинии является компактным, то inf{х-y:y A} фактически означает то же самое, что и min{x-y:y A).

Обобщим понятие расстояния от точки х до множества точек изолинии А. Определим расстояние между двумя компактными множествами А и В следующим образом (фиг.5):

Строго говоря, следует использовать sup вместо max, но вследствие того, что оба множества компактны, корректно использование max.

Естественно задать вопрос: является ли расстояние d_H(А,В) метрикой? Очевидно, нет. В частности, если А В, причем А В, то d_H(A,B)=0, что нарушает аксиому метрики (б). Более того, так определенное расстояние не является симметричным d_H(А,В) d_H(B,A).

Чтобы получить метрику, необходимо использовать комбинацию расстояний d_H(A,B) и d_H(B,A), заданных выражением (3). Это и будет определение метрики Хаусдорфа (фиг.6)

На практике прямое использование выражения (11) для вычисления близости между двумя множествами затруднительно. Однако можно построить конструктивное выражение для метрики Хаусдорфа, основанное на понятии дилатации (расширения). Амбарцумян Р.В., Меллу Й., Штойян Д. Введение в стохастическую геометрию. М.: Наука, 1989. 400 с. Оно будет тождественно выражению (11).

Для заданного множества точек изолинии А и радиуса r>0 дилатация А радиуса r обозначается как А+r. Она определяется как векторная сумма A+E_r(0), где E_r(0) - замкнутый круг радиуса r с центром в начале координат (фиг.7). Это можно записать в следующем эквивалентном виде:

Используя (12), приведем выражение (11) к виду

Выражение (13) является искомым определением меры близости между двумя системами изолиний, которое легко поддается численной оценке.

Приведем пример. Пусть А и В - эллипсы (фиг.8):

и

Видно, что наименьшее r, при котором А В+r и В А+r, составляет r=3.5. Поэтому Н(А,В)=3.5. А

В случае представления изолиний А и В дискретным набором точек для вычисления метрики Хаусдорфа используется построение диаграммы Вороного [11]. Такой алгоритм требует времени пропорционально NlogN, где N - число точек. Для ситуации, когда точки изолиний являются вершинами выпуклого или простого многоугольника, существует более быстрый алгоритм, предложенный Аталла [12]. Этот алгоритм имеет время выполнения, пропорциональное N.

Наиболее просто оценка метрики Хаусдорфа может проводиться средствами ГИС. В этих системах оценка метрики Хаусдорфа реализуется стандартными средствами, включенными во всех современных ГИС. Инструментом построения векторного произведения (12) в ГИС являются инструменты буферизации с заданным расстоянием r, а инструментом вычисления включений А В+r и В А+r являются стандартные средства пространственного поиска. Единственное, что требуется для оценки метрики Хаусдорфа - организовать циклическое выполнение этих двух стандартных операций для поиска минимального значения r в выражении (13). Это можно сделать, используя внутренние языки программирования. Например, в ГИС Arc View 3.2 это может быть реализовано на внутреннем языке Avenue.

Таким образом, оценка близости двух систем изолиний может быть решена на основе применения метрики Хаусдорфа. В основе предлагаемого способа лежит метрика Хаусдорфа, которая позволяет получить простые алгоритмы вычисления близости изолиний, характеризующих контуры ледовых полей с использованием стандартных инструментов ГИС. Этот способ неприменим, в единственном случае, когда при интерполировании одним способом изолинии фиксированного уровня присутствуют, а при интерполировании другим изолиний для этого уровня нет.

Предлагаемый способ позволяет также выполнить оценку точности положения изолинии, характеризующих контуры ледовых полей, что реализуется на основе теории перенормировки (ренорм-группы). Полученная модель генерализации описывает основные свойства этой картографической операции. На ее основе реализована численная модель картографической генерализации. Свойства этой модели могут быть использованы при разработке автоматизированных алгоритмов генерализации для конкретных типов геопространственных полей, например, гидрометеорологических с учетом их машинных форматов представления.

Источники информации

1. Научные исследования в Арктике. Том 3. Дистанционное зондирование морских льдов на северном морском пути: изучение и применение / Йоханнессен О.М., Александров В.Ю., Фролов И.Е. и др. СПб.: Наука. 2007, с.238-244.

2. Авторское свидетельство СССР № 1271198.

3. Авторское свидетельство № 640113.

4. Заявка RU № 2010106860.