способ определения свойств углеводного пласта и добываемых флюидов в процессе добычи

Формула изобретения

1. Способ определения свойств углеводородного пласта и добываемых флюидов в процессе добычи, в соответствии с которым по меньшей мере один раз регистрируют акустический сигнал, представляющий собой отклик системы скважина-пласт на акустические импульсы давления, источником которых является электрический погружной насос, расположенный внутри скважины, причем акустический сигнал регистрируют по меньшей мере одним датчиком, размещенным в забойной камере скважины и измеряющим по меньшей мере один количественный физический показатель системы скважина-пласт, характеризующий процесс распространения акустического импульса в скважине, создают математическую модель распространения акустических импульсов давления в забойной камере, сравнивают данные, полученные путем моделирования, с данными, полученными путем регистрации акустического сигнала, представляющего собой отклик системы скважина-пласт, регулируют параметры пласта в математической модели для обеспечения соответствия по меньшей мере одного количественного физического показателя системы скважина-пласт, полученного путем моделирования, тому же количественному физическому показателю, полученному путем регистрации, и определяют свойства пласта и добываемых флюидов как параметры, обеспечивающие соответствие.

2. Способ по п.1, в соответствии с которым количественные физические показатели системы скважина-пласт представляют собой давление, производную давления по времени, компоненту скорости флюида, компоненту ускорения флюида.

3. Способ по п.1, в соответствии с которым для регистрации акустического сигнала используют две группы датчиков, расположенных близко друг к другу, при этом в первой группе по меньшей мере один датчик измеряет давление или производную давления по времени, или их комбинацию, во второй группе по меньшей мере один датчик измеряет скорость или ускорение флюида в направлении оси скважины в месте измерения, определяют отношение спектра первого измеренного физического количественного показателя к спектру второго измеренного физического количественного показателя, используют указанное отношение спектра первого измеренного физического количественного показателя к спектру второго измеренного физического количественного показателя в качестве исходных данных для расчета функции отклика пласта с использованием модели распространения акустического импульса в забойной камере скважины, используют полученный из моделирования набор функций откликов пласта, связанный с определенной геометрией пласта и параметрами среды пласта, для регулирования параметров пласта в математической модели.

4. Способ по п.3, в соответствии с которым для определения отношения спектра первого измеренного физического количественного показателя к спектру второго измеренного физического количественного показателя рассчитывают спектр первого измеренного физического количественного показателя для первой группы датчиков и спектр второго измеренного количественного показателя для второй группы датчиков.

5. Способ по п.4, в соответствии с которым расчет спектра измеренного физического количественного показателя представляет собой обработку зарегистрированного акустического сигнала, состоящую в представлении сигнала как линейной комбинации функций, параметризованных спектральным параметром, с коэффициентами линейной комбинации, представляющими собой указанный спектр.

6. Способ по п.5, в соответствии с которым обработку зарегистрированного акустического сигнала осуществляют при помощи дискретного преобразования Фурье.

7. Способ по п.6, в соответствии с которым проводят предварительную обработку зарегистрированного акустического сигнала.

8. Способ по п.7, в соответствии с которым предварительная обработка зарегистрированного акустического сигнала представляет собой исключение трендов и удаление шумов.

9. Способ по п.3, в соответствии с которым отношение спектра первого измеренного физического количественного показателя к спектру второго измеренного физического количественного показателя рассчитывают как линейный фильтр.

10. Способ по п.1, в соответствии с которым в случае, когда акустический сигнал регистрируют более одного раза, рассчитывают спектр физического количественного показателя, измеренного датчиком в каждый момент времени, определяют изменения по меньшей мере одного параметра математической модели путем сопоставления результирующих изменений спектров с изменениями параметров модели.

11. Способ по п.10, в соответствии с которым расчет спектра измеренного физического количественного показателя представляет собой обработку зарегистрированного акустического сигнала, состоящую в представлении сигнала как линейной комбинации функций, параметризованных спектральным параметром, с коэффициентами линейной комбинации, представляющими собой указанный спектр.

12. Способ по п.1, в соответствии с которым по меньшей мере один раз изменяют скорость вращения ротора электрического погружного насоса путем изменения управляющего входного электрического сигнала погружного насоса, определяют спектр по меньшей мере одного измеренного количественного физического показателя при дискретном множестве частот, на котором амплитуды спектра погружного насоса имеют локальные максимумы.

13. Способ по п.12, в соответствии с которым скорость вращения ротора электрического погружного насоса изменяют с использованием преобразователя скорости вращения.

14. Способ по п.12, в соответствии с которым изменение скорости вращения ротора представляет собой частотную модуляцию скорости вращения ротора модулирующей частотой.

15. Способ по п.12, в соответствии с которым скорость вращения ротора электрического погружного насоса изменяют несколько раз с набором различных модулирующих параметров так, чтобы спектральные максимумы скорости вращения ротора покрывали диапазон частот.

16. Способ по п.15, в соответствии с которым изменение скорости вращения ротора представляет собой частотную модуляцию, при которой изменение модулирующего параметра приводит к тому, что спектральные максимумы охватывают диапазон

( _sh-n _mod, _sh+n _mod),

где _sh - скорость вращения ротора электрического погружного насоса,

_mod - модулирующий параметр,

n=1, 2 .

17. Способ по п.1, в соответствии с которым по меньшей мере одним датчиком измеряют давление или его производную по времени, или их сочетание, определяют фазовую скорость флюида, заполняющего забойную камеру скважины, путем соотнесения резонансных и антирезонансных частот по меньшей мере одного количественного показателя с соответствующими частотами математической модели и определяют объемную долю газа, представляющую собой отношение объема, занятого газом, к общему объему флюида, путем соотнесения фазовой скорости распространения импульсов давления, определенной при данном давлении с фазовой скоростью, прогнозируемой при помощи модели.

18. Способ по п.17, в соответствии с которым изменение объемной доли газа определяют качественно путем наблюдения одновременного уменьшения или увеличения резонансных, или антирезонансных частот.

19. Способ по п.1, в соответствии с которым акустические сигналы, зарегистрированные датчиками, измеряющими по меньшей мере один количественный физический показатель системы скажина-пласт, подвергают обработке в скважине так, что информация о количественном или качественном поведении физических количественных показателей вырабатывается путем такой обработки и либо передается на поверхность при помощи телеметрической связи, либо сохраняется в памяти для считывания в дальнейшем.

Описание изобретения к патенту

Настоящее изобретение относится к мониторингу свойств углеводородных пластов и свойств добываемых флюидов во время добычи, особенно в ходе механизированной добычи.

Механизированная добыча представляет собой операцию, направленную на повышение добычи углеводородов из пласта путем создания отрицательного перепада давления между пластом и скважиной, и далее - между призабойной зоной скважины и поверхностью так, чтобы сначала вызвать поток флюидов из пласта в скважину, а затем вытолкнуть их на поверхность. Это осуществляется повсеместно, в частности, путем установки электрического погружного насоса (ESP) внутри добывающей скважины. Электрический погружной насос обычно состоит из последовательности нескольких электроцентробежных насосов, сепаратора, электродвигателя и силового кабеля для питания двигателя. Система питания может включать в себя Привод Регулировки Скорости (Variable Speed Drive), способный регулировать управляющий электрический сигнал и, таким образом, при необходимости изменять эксплуатационные характеристики электрического погружного насоса.

Во время добычи важно оценивать изменения пластовых условий (например, давления, проницаемости в призабойной зоне скважины и локального снижения проницаемости) и изменения свойств скважинных флюидов (например, содержание в них различных фаз) и оперативно регулировать параметры электрического погружного насоса и расположенной на поверхности системы с целью создания оптимального режима добычи, недопущения поломок оборудования, а также получения дополнительных данных для инженерных моделей.

Из уровня техники известны способы получения информации о свойствах углеводородных пластов, представляющие собой гармонические испытания (см., например, Hollaender, F., Hammond P.S. and Gringarten, A., Harmonic Testing for Continuous Well and Reservoir Monitoring, SPE 77692, 2002), предусматривающие сообщение пласту нагрузки, связанной с циклическим изменением расхода жидкости, с варьированием периода цикла в некотором диапазоне, с целью установления "функции отклика" пласта, представляющей собой отношение давления в частотной области к расходу в частотной области (здесь и далее, упоминание какой-либо величины «в частотной области» означает ссылку на комплексные коэффициенты преобразования Фурье данной величины, параметризуемые частотой), на пересечении пласта и скважины. С точки зрения акустики функция отклика совпадает с сосредоточенным полным гидравлическим сопротивлением пласта в зоне его примыкания к скважине. Если расход задан, функция отклика позволяет рассчитать давление в частотной области. Были рассмотрены аналитические модели функции отклика для различных конфигураций "скважина-пласт": линейный источник, скважина с учетом влияния сжимаемости ствола и зоны локального снижения проницаемости в бесконечном однородном пласте, скважины с гидроразрывом, пласты с двойной пористостью или составные пласты с учетом влияния сжимаемости ствола и зоны локального снижения проницаемости.

Периоды циклов гармонических испытаний соотносятся с необходимой глубиной изучения резервуара и варьируются от 0,1 сек до нескольких месяцев; таким образом, расчетный диапазон частот функции отклика не превышает 10 Гц. Соответствующие изменения расхода необходимо производить при помощи специального устройства для изменения расхода, что усложняет компоновку скважины.

В отличие от стандартных гармонических испытаний предлагаемый способ касается более высокого диапазона частот (10-100 Гц) и оценивает функцию отклика пласта опосредованно, через его гидравлическое сопротивление в точке измерений, например, на входе электрического погружного насоса. Переход к другому диапазону частот позволяет изучить не только свойства пласта вдали от скважины, но и определить характеристики параметров призабойной зоны и получить более качественные характеристики пласта на границе раздела пласта и скважины. Он также позволяет основывать интерпретацию данных на явлениях, которые отсутствуют в случае более низких частот, например, на частотах и скоростях затухания резонансных мод в зоне под насосом.

В соответствии с предлагаемым способом по меньшей мере один раз регистрируют акустический сигнал, представляющий собой отклик системы скважина-пласт на акустические импульсы давления, источником которых является электрический погружной насос, расположенный внутри скважины. Акустический сигнал регистрируют по меньшей мере одним датчиком, размещенным в забойной камере скважины и измеряющим по меньшей мере один количественный физический показатель системы скажина-пласт, характеризующий процесс распространения акустического импульса в скважине. Создают математическую модель распространения акустических импульсов давления в забойной камере, сравнивают данные, полученные путем моделирования, с данными, полученными путем регистрации акустического сигнала, представляющего собой отклик системы скважина-пласт. Регулируют параметры пласта в математической модели для обеспечения соответствия по меньшей мере одного количественного физического показателя системы скважина-пласт, полученного путем моделирования, тому же количественному физическому показателю, полученному путем регистрации, и определяют свойства пласта и добываемых флюидов как параметры, обеспечивающие соответствие.

Количественные физические показатели системы скважина-пласт включают в себя давление, производную давления по времени, компоненту скорости флюида, компоненту ускорения флюида или их сочетание.

В соответствии с одним из вариантов осуществления изобретения для регистрации акустического сигнала используют две группы датчиков, расположенных близко друг к другу. В первой группе по меньшей мере один датчик измеряет давление или производную давления по времени или их комбинацию, во второй группе по меньшей мере один датчик измеряет скорость или ускорение флюида в направлении оси скважины в месте измерения. Определяют отношение спектра первого измеренного физического количественного показателя к спектру второго измеренного физического количественного показателя, используют указанное отношение спектра первого измеренного физического количественного показателя к спектру второго измеренного физического количественного показателя в качестве исходных данных для расчета функции отклика пласта с использованием математической модели распространения акустического импульса в забойной камере скважины. Используют полученный из моделирования набор функций откликов пласта, связанный с определенной геометрией пласта и параметрами среды пласта, для регулирования параметров пласта в математической модели.

Для определения отношения спектра первого измеренного физического количественного показателя к спектру второго измеренного физического количественного показателя рассчитывают спектр первого измеренного физического количественного показателя для первой группы датчиков и спектр второго измеренного количественного показателя для второй группы датчиков. При этом расчет спектра измеренного физического количественного показателя представляет собой обработку зарегистрированного акустического сигнала, состоящую в представлении сигнала как линейной комбинации функций, параметризованных спектральным параметром, с коэффициентами линейной комбинации, представляющими собой указанный спектр.

В частности, определение спектра зарегистрированного акустического сигнала может быть осуществлен при помощи дискретного преобразования Фурье.

Зарегистрированный акустический сигнал может быть подвергнут предварительной обработке, включающей, например, исключение трендов и удаление шумов.

Отношение спектра первого измеренного физического количественного показателя к спектру второго измеренного физического количественного показателя может быть рассчитано как линейный фильтр.

В случае, если акустический сигнал регистрируют более одного раза, рассчитывают спектр физического количественного показателя, измеренного датчиком в каждый момент времени, и определяют изменения по меньшей мере одного параметра математической модели путем сопоставления результирующих изменений спектров с изменениями параметров модели.

В соответствии с другим вариантом осуществления изобретения по меньшей мере один раз изменяют скорость вращения ротора электрического погружного насоса путем изменения управляющего входного электрического сигнала погружного насоса, определяют спектр по меньшей мере одного количественного физического показателя, измеренного датчиками, при дискретном множестве частот, на котором амплитуды спектра погружного насоса имеют локальные максимумы. Скорость вращения ротора электрического погружного насоса может быть изменена с использованием преобразователя скорости вращения.

Изменение скорости вращения ротора может представлять собой частотную модуляцию скорости вращения ротора модулирующей частотой.

Скорость вращения ротора электрического погружного насоса может быть изменена несколько раз с набором различных модулирующих параметров так, чтобы спектральные максимумы скорости вращения ротора покрывали диапазон частот.

Так, изменение скорости вращения ротора может представлять собой частотную модуляцию, при которой изменение модулирующего параметра приводит к тому, что спектральные максимумы охватывают диапазон

( _sh-n _mod, _sh+n _mod),

где _sh - скорость вращения ротора электрического погружного насоса,

_mod- модулирующий параметр,

n=1, 2 .

В соответствии с еще одним вариантом осуществления изобретения по меньшей мере одним датчиком измеряют давление или его производную по времени, или их сочетание, и определяют фазовую скорость флюида, заполняющего забойную камеру скважины, путем соотнесения резонансных и антирезонансных частот по меньшей мере одного количественного показателя с соответствующими частотами математической модели. Определяют объемную долю газа, представляющую собой отношение объема, занятого газом, к общему объему флюида, путем соотнесения фазовой скорости, определенной при данном давлении с фазовой скоростью, прогнозируемой при помощи модели.

Изменение объемной доли газа также может быть определено качественно путем наблюдения одновременного уменьшения или увеличения резонансных или антирезонансных частот.

Акустические сигналы, зарегистрированные датчиками, измеряющими по меньшей мере один количественный физический показатель системы скажина-пласт, могут быть подвергнуты обработке в скважине так, что информация о количественном или качественном поведении физических количественных показателей вырабатывается путем такой обработки и либо передается на поверхность при помощи телеметрической связи, либо сохраняется в памяти для считывания в дальнейшем.

Изобретение поясняется чертежами, где на фиг. 1 приведен пример частотной модуляции скорости вращения ротора, на фиг.2 проиллюстрировано уравнение сохранения массы на стыке нескольких сегментов, на фиг. 3 приведен пример полного гидравлического сопротивления на входе электрического погружного насоса, рассчитанный в модели линии передачи для геометрии, изображенной слева.

Изобретение основано на использовании электрического погружного насоса в качестве источника колебаний давления, наполняющих скважинное пространство акустической энергией; при этом учитывается, что область скважины под электрическим погружным насосом представляет собой прекрасно изолированный объем, что делает ее идеальной для акустических испытаний.

Интерпретация этих колебаний позволяет охарактеризовать свойства пласта или скважинного флюида на основании, в частности, динамического отклика давления.

Было установлено, что существует возможность оценки некоторых свойств свойства пласта или скважинного флюида путем направления импульса давления в нижнюю часть скважины и интерпретации отклика системы, который является чувствительным к гидравлической коммуникации скважины и резервуара и коэффициентам сжимаемости скважинных флюидов, при этом последние являются индикаторами содержания различных фаз во флюиде. Для создания таких колебаний давления можно использовать электрический погружной насос. Применение скважинного датчика давления или датчика для измерения колебаний расхода (например, однокомпонентного геофона) или обоих датчиков позволяет регистрировать отклик системы. Датчики размещают в забойной камере скважины; понятие "забойная камера" означает гидравлически связную область ниже электрического погружного насоса и может представлять собой группу сегментов скважины, либо гидравлически отделенных от среды, окружающей скважину, либо соединенных с этой средой, и может включать в себя как минимум один пласт, пересекающий скважину, а также может включать в себя заполненную флюидом область под пакером, если последний присутствует.

Создают математическую модель распространения импульса давления в пласте, примыкающем к зоне скважины, расположенной ниже электрического погружного насоса, ее параметры можно настроить таким образом, чтобы результаты моделирования соответствовали измеренным данным. Модель должна включать набор параметров пласта, например, произведение проницаемости пласта на высоту пласта, локальное снижение проницаемости в призабойной зоне, средний радиус зоны снижения проницаемости, и параметров флюида, например плотность, вязкость и объемную доля газа.

Электрический погружной насос представляет собой один из видов центробежного насоса, в котором вращательное движение профилированной крыльчатки в сочетании с фасонным корпусом насоса или улитой, сообщает центробежную силу для выброса жидкости из насоса. Жидкость поступает в насос и затягивается в лопаточное пространство или в центр крыльчатки, а затем вытесняется из него через лопатки (лопасти) под действием центробежной силы, вырабатываемой вращательным действием крыльчатки. Затем жидкость вытесняется во внешний контур насоса и выходит с выкида насоса.

На валу можно установить несколько ступеней крыльчаток, за счет чего образуется многоступенчатый центробежный насос, который обычно используется при механизированной добыче (см., например, http://belpumps.by/inoxpa-nasos-ms.html).

Центробежный насос выполняет работу над жидкостью, сообщая силу путем ускорения жидкости до определенной скорости и перемещая ее от состояния низкого давления (на приеме) до состояния высокого давления (на выкиде). Работа выполняется над жидкостью путем вращения крыльчатки, закрепленной на валу и соединенной с источником питания - электрическим двигателем, дизельным двигателем и т.д.

По мере вращения вала жидкость поступает в "лопаточное пространство" крыльчатки (зону, ближайшую к валу) и выходит через лопатки, расположенные на кромке или на внешнем диаметре. Жидкость выходит с кромки лопатки с определенной скоростью и под определенным давлением, и направляется с внешнего диаметра крыльчатки через диффузор и возвращается во внешний диаметр ("лопаточное пространство") другой крыльчатки или на выкид насоса. Диффузор является стационарным и имеет лопатки, которые создают проходной канал для изменения направления движения жидкости.

Таким образом, из самого принципа работы центробежного насоса вытекает, что существуют две основные частоты, характеризующие работу насоса: частота вращения крыльчатки ("частота вала") и частота "межлопаточного канала", представляющая собой частоту вращения крыльчатки, умноженную на количество лопаток. Эти частоты проявляются в виде пиков в спектре колебаний давления, создаваемого насосом. Ввиду того, что временная зависимость скорости вращения вала никогда не представляет собой совершенную синусоиду и ввиду того, что отклик давления на вращение ротора может быть нелинейным, спектр отклика давления обычно также содержит гармонические составляющие основных частот ("гармоники").

Таким образом, электрический погружной насос способен вырабатывать сильные акустические сигналы на множестве "тонов", пропорциональных частоте вращения вала. Имеется также значительное количество широкополосных шумов более низкой амплитуды. В то время, как выработка сигнала внутри насоса может быть осложнена и представлять собой нелинейный процесс, его последующее распространение внутри скважинного флюида и пласта можно достоверно описать при помощи линейной аппроксимации. Тогда сигнал можно рассматривать как сумму гармонических мод, в которой каждый частотный компонент распространяется независимо, этот подход в значительной части аналогичен реализации преобразования Фурье и переходу к количественным показателям частотной области. Пространственный профиль каждой моды можно рассчитать в рамках математической модели типа модели линии передачи, которая рассматривает скважину, как совокупность одномерных сегментов, поддерживающих направленные вверх и вниз трубные волны, а пласт - как нуль-мерный элемент сосредоточенного полного сопротивления, определяющий отклик пласта на изменения давления/ расхода.

Важно иметь возможность изменения частот спектральных максимумов в спектре давления насоса с целью обеспечения возможности сканирования некоего частотного диапазона. Это можно проделать естественным образом путем модуляции характеристик вращения насоса. Одной из возможностей является использование частотного преобразователя, представляющего собой систему управления электроприводом, способную регулировать входной электрический сигнал и, за счет этого, частоту вращения вала насоса.

Частотный преобразователь (VSD) представляет собой устройство для преобразования входной энергии переменного тока фиксированной частоты в выходную энергию переменного тока переменной частоты. Для достижения этого частотный преобразователь преобразует входящий сигнал переменного тока в сигнал постоянного тока, который удерживается на заданном уровне в шине постоянного тока. На выходе из этой шины, с использованием инвертора, постоянный ток конвертируется обратно в энергию переменного тока необходимой частоты.

Медленное гармоническое изменение частоты вращения вала _sh с частотой _mod преобразует исходный гармонический сигнал в последовательность гармонических сигналов с частотами _sh±n _mod, n= 0, 1, 2, . Таким образом, сконцентрировавшись на зоне n=1, можно покрыть диапазон _sh- _mod< _sh+ _mod путем изменения модулирующей частоты _mod.

Это проиллюстрировано на фиг.1, где верхний график относится к временной области, а нижний - к частотной области. Пунктирные линии характеризуют исходный гармонический сигнал с частотой ₀=60 Гц, сплошные линии - его частотно-модулированный аналог ₁=10 Гц.

В данном случае модулированный сигнал характеризуется одним параметром ₁ и дискретным частотным спектром. Возможны другие модулирующие последовательности, характеризуемые более общим спектром со своим набором основных частот. Мы называем модулирующую последовательность, характеризуемую конкретным спектром, модулирующим циклом, а частоты соответствующих спектральных максимумов - фокусными частотами.

Каждый цикл модуляции реализуется в течение некоторого времени, чтобы с достаточной точностью получить не зависящий от времени спектр отклика системы на множестве фокусных частот или в пределах заданного диапазона частот, затем модулирующие параметры изменяются с целью изменения фокусных частот. Итерация процедуры проводится столько раз, сколько это необходимо (если это возможно с точки зрения эксплуатации), чтобы осуществить покрытие всех фокусных частот в рассматриваемом диапазоне.

Нет необходимости генерировать строго гармонические импульсы и варьировать частоту с течением времени, та же функция отклика будет получена путем генерирования произвольного импульса с последующим получением функции отклика как отношения подверженных преобразованию Фурье давления и расхода. В качестве альтернативы преобразования Фурье специалистам в области обработки сигналов известен ряд алгоритмов оценки спектра, включая процедуры очистки сигнала от шума. В силу относительно высокой доминантной частоты (либо частоты вращения вала, либо частоты лопаточного канала) типичная регистрация сигнала, длящаяся несколько секунд, включает в себя сотни или тысячи циклов колебаний, этого вполне достаточно для оценки спектра при помощи дискретного преобразования Фурье, надлежащим образом нормализованные значения спектральной плотности, таким образом, с высокой степенью точности приблизятся к теоретическим значениям, полученным на основании преобразования Лапласа или преобразования Фурье.

В рамках подхода линии передачи создают модель распространения импульса в системе скважины, соединенной как минимум с одним пластом. Модель можно использовать, если длина волны всех возбуждений превышает обычный размер стыков между сегментами. Если длина трубных волн становится сопоставимой или меньшей высоты пласта, необходима более сложная модель для обработки данных системы «скважина-пласт», которую можно разработать при необходимости. Кроме того, относительно малый размер забойной камеры открывает возможность прямого численного моделирования при помощи одного из современных средств моделирования. Примером использования данного принципа для скважины, подвергнутой гидроразрыву, является T.W.Patzek, A. De, A Lossy Transmission Line Model of Hydrofractured Well Dynamics, Journal of Petroleum Sience and Engineering 25 (2000), 59-77, однако нам необходима более общая модель, учитывающая более сложную зависимость основных количественных показателей от частоты. В общем случае, одномерная линия передачи представляет собой собрание одномерных сегментов и нульмерных элементов сосредоточенного полного сопротивления. Одномерные сегменты поддерживают два волновых возбуждения, распространяющихся в противоположных направлениях и записываемые при помощи двух количественных параметров: давления p (x, t) и скорости (x, t) в виде:

или, проведя преобразование Лапласа по t и переходя к области комплексных частот:

Где

с частотно-зависимой комплекснозначной константой распространения (s) и амплитудами Р(s), V(s).

Поточечное отношение амплитуды волны, распространяющейся влево к волне, распространяющейся вправо, есть коэффициент отражения, например, для давления

Получаем

Амплитуды давления и скорости не являются независимыми, но связаны посредством комплексного частотно-зависимого волнового сопротивления:

Действительная часть Z_c(s) является соотношением между давлением и скоростью типа «трение» и сигнализирует о потере давления либо в силу излучения от источника, или из-за трения, а мнимая часть отвечает за емкостное сопротивление, инерцию и прочие эффекты, связанные с накоплением энергии.

Уравнение (8) сокращает количество независимых комплексных констант в уравнении (5) до двух: P (s), P (s), отражающих комплексные амплитуды волн, направленной вправо и влево.

Поточечное полное сопротивление представляет собой отношение давления и скорости в некоей конкретной точке:

В отличие от Z_c(s), которое зависит от локальных свойств линии, Z(x,s) зависит от полной геометрии системы через r(s). Граничные условия можно переформулировать в терминах поточечного сопротивления. Например, замкнутая граница предполагает =0, и, по этой причине, Z(X_end, s)= , а условие для открытой границы p=0 эквивалентно Z(X _end, s)=0. Акустическое излучение сквозь границу даст некое частотно-зависимое полное сопротивление р(X_end, s)= Z_c(X_end, s) (x_end, s). Мы имеем:

Используя (8), (9) можно выразить поточечное полное сопротивление в некоей точке через поточечное полное сопротивление в другой точке:

что является уравнением переноса полного сопротивления. Это соотношение для сопротивлений не зависит от конкретного решения. Если целевой частотный диапазон таков, что длина волн всех мод намного превышает длины соответствующих сегментов, путем разложения исходных выражений в степенной ряд по малому параметру, представляющему собой произведение волнового числа на длину сегмента, и выделения лидирующих членов ряда.

При составлении формулы объединения сегментов важно перейти от скоростей к среднему объемному расходу q путем умножения первого на площади поперечного сечения S:

Все приведенные выше соотношения остаются без изменений, но масштаб полного сопротивления изменяется:

Если в некоей точке соединяется несколько сегментов, как показано на фиг. 2, то подразумевается сохранение непрерывности давления и объемного расхода

с направлениями осей, указанными стрелками. При делении расхода на давление получаем уравнение согласования полного сопротивления:

Точка соединения может обладать своей собственной динамикой, закодированной в сосредоточенном сопротивлении (s), которое прибавляется к уравнению согласования:

Это, например, будет иметь место, когда сегменты соединяются через небольшую деформируемую камеру, вносящую вклад в уравнение баланса объема путем расширения и сжатия при изменении давления. В случае абсолютно жесткой камеры сосредоточенное полное сопротивление является бесконечным, а связанный с ним вклад равен нулю. (s) может обеспечить соответствие сложным условиям соединения, учитывающим влияния в призабойной зоне, например, влияние перфораций и других препятствий, например гравийной набивки.

Пласт тоже можно рассматривать как элемент сосредоточенного полного сопротивления. В этом случае (s)= Z_reservoir(0, s), где Z_reservoir (0, s) представляет собой поточечное полное сопротивление, рассчитанное в стволе скважины.

С учетом вышесказанного процедура решения линии передачи такова. Задают граничные условия на всех концах схемы, кроме одного («вход электрического погружного насоса»), и определяют соответствующие значения полного сопротивления. Используя уравнение переноса полного сопротивления, рассчитывают значения полного сопротивления на противоположных концах сегментов, затем для перехода к следующим сегментам используют уравнение согласования полного сопротивления, и т.д. до тех пор, пока на стволе скважины не будет получено полное сопротивление Z_ESP(s). Затем, с учетом расхода на входе ствола скважины Q(s) (которое можно физически реализовать, например, в виде активного насоса с определенным графиком нагнетания/всасывания), отклик давления P(s) можно получить просто при помощи:

Количественные значения во временной области при необходимости можно получить, применив обратное преобразование Лапласа.

Можно видеть, что основными количественными характеристиками, позволяющими построить модель линии передачи, являются константы распространения и характеристические сопротивления сечений скважины (s), Z_c(s) и сосредоточенное полное сопротивление пласта на забое Z_reservoir(0, s). Для обоих количественных значений существует множество математических моделей. Упомянем здесь лишь основные (в переменных давление/скорость), применимые в низкочастотном (<100 Гц) диапазоне.

для ламинарного потока вязкого флюида с кинематической вязкостью в жесткой трубе радиусом R при фазовой скорости с - см., например, A Trikha, An efficient method of simulating frequency-dependent friction in transient liquid flow, Trans. of ASME, J. Bas. Eng., V97 (1975), p.97-105. Можно вывести аналогичные выражения для структуры, состоящей из любого количества концентрических цилиндров, твердых или жидких, или получить соответствующие выражения численным путем, например, способом, описанным в Karpfinger F., Gurevich В., Bakulin A., Modeling of wave dispersion along cylindrical structures using the spectral method, J. Acoust. Soc. Am., 2008, Aug., 124(2), p.859-865.

Для описания пласта можно либо вывести модель функции отклика пласта, либо использовать уже известную модель. Например, следующий результат теории гармонических испытаний описывает осесимметричный изотропный пласт с круговой зоной локального снижения проницаемости вокруг необсаженной скважины

где R - радиус скважины, Y 1,781 - постоянная Эйлера, - вязкость флюида пласта, k - проницаемость пласта, =k/ c_t, где c_t - общий коэффициент сжимаемости заполненной пластовой жидкостью породы, - пористость пласта, - локальное снижение проницаемости (отношение проницаемости зоны локального снижения к проницаемости пласта), - радиус зоны локального снижения проницаемости в единицах радиуса ствола скважины.

Пример на фиг.3 иллюстрирует чувствительность Z_ESP к параметрам резервуара при конкретных параметрах геометрии, схематически изображенных слева. Высота пласта составляла 15 м при проницаемости 1 Дарси, модель пласта представляла собой описанную выше радиальную составную модель. Четыре кривые на фиг.3 показывают зависимость модуля гидравлического сопротивления на входе электрического погружного насоса от частоты для неперфорированной скважины и для перфорированной скважины с тремя вариантами зоны локального снижения проницаемости, описанными в левом верхнем углу графика. Можно увидеть, что чувствительность особенно сильна вокруг резонансного и антирезонансного пиков и в указанных пиках.

Одним из методов соотнесения модели с экспериментом является использование по меньшей мере двух датчиков для измерения давления и аналога расхода, например, вертикальной скорости флюида, где "вертикальный" означает направление оси скважины в месте измерения, определение отношения их спектров, представляющего собой поточечное полное сопротивление, и соотнесение его со значением модели. Этот метод является наиболее полным, но он требует измерения двух количественных показателей.

Другой метод заключается в измерении всего одного количественного показателя, например давления, и определении того, как его спектр изменяется с течением времени, например, путем определения последовательных спектральных соотношений:

При условии, что входной электрический сигнал в электрический погружной насос, относящийся к различным промежуткам времени, один и тот же, можно обоснованно предположить, что скорость вращения крыльчатки также будет одинаковой и по этой причине расход также будет одинаковым, следовательно

и

Таким образом, мы получаем соотношение, в котором измеренный количественный показатель N(s|t_k ) можно соотнести с относительным изменением полного сопротивления на входе насоса, следующим из модели. По сути, можно записать аналогичные соотношения в любой точке забойной камеры. Таким образом, этот метод подходит для определения изменений параметров забойной камеры.

Происхождение резонансных и антирезонансных пиков в спектрах вызвано образованием стоячих волн в сегментах, включенных в схему линии передачи. Максимумы/минимумы возникают по той причине, что полное сопротивление, рассматриваемое как функция лапласовой s-переменной, обладает полюсами/нулями, и когда последние близки к мнимой оси, они по непрерывности приводят к соответствующим максимумам и минимумам на мнимой оси. Если внимательно изучить уравнение переноса полного сопротивления, можно легко установить, что, как правило, максимумы/минимумы входного полного сопротивления возникают в районе частот, соответствующих длинам волн, кратным половине или четверти длины соответствующих сегментов. Условия резонанса/ антирезонанса выглядят следующим образом:

где c( ) - фазовая скорость трубной волны , a L - длина сегмента. С учетом слабой зависимости с от можно аппроксимировать интервал между двумя резонансными частотами, как

При объединении нескольких сегментов, возникает структура с более сложными полюсами. В частности, основной гармонический ряд, наиболее очевидный для неперфорированных скважин и скважин с минимальным локальным снижением проницаемости объясняется формированием стоячей волны в 3-сегментной схеме, где первый сегмент - непосредственно под электрическим погружным насосом, второй - над пластом, и третий - под пластом; с интервалом примерно 2,2 Гц, соответствующим (25), где с=800 м/с представляет собой использованную в модели фазовую скорость, а L=160 м - расстояние от электрического погружного насоса до забоя скважины. Таким образом, если геометрия забойной камеры известна, путем соотнесения резонансных/антирезонансных частот, включенных в модель, можно определить фазовую скорость трубных волн. Скорость трубных волн с является функцией соответствия труб и фазовой скорости флюида С в неограниченной среде. Последнее значение скорости соотносится с колебаниями давления и плотности следующим образом

и, по этой причине, позволяет измерить коэффициент сжимаемости флюида. Коэффициент сжимаемости флюида, в свою очередь, может сильно варьироваться, если во флюиде присутствует газ. Например, для простой двухфазной системы (флюид и идеальный газ) мы имеем

где p - фоновое давление, - плотность флюида без газа, Г - объемная доля газа или «фактор качества», а N - экспонента политропного расширения. Эта формула применима в отношении значений Г, которые не слишком приближены к 0 или 1, в последних случаях действует более сложная формула. Для многофазных, многокомпонентных смесей флюид-газ зависимости скорости звука от объемных отношений фаз можно либо измерить в лаборатории, либо получить теоретическим путем, описанный метод позволяет измерить объемную долю газа в зоне под насосом и, в более общем случае, получить данные для определения свойств многофазного флюида, зависящих от коэффициента сжимаемости, путем соотнесения структуры резонансных и антирезонансных пиков в любом из количественных показателей, измеренных в скважине, в частности в давлении или гидравлическом сопротивлении, измеренном в точке или множестве точек в забойной камере.