способ определения приведенного момента инерции механизма

Формула изобретения

Способ определения приведенного момента инерции механизма, заключающийся в изменении инерционных свойств механизма путем присоединения дополнительного маховика с известным моментом инерции J₀ и измерении угловой скорости звена приведения, отличающийся тем, что дополнительно измеряют угол поворота звена приведения и определяют изменение углового ускорения звена приведения, вызванное присоединением пробной массы, а приведенный момент инерции определяют как функцию угла поворота звена приведения из решения численным методом дифференциального уравнения



с начальным условием



где ₁ и ₂ - измеренные угловые скорости,

- изменение углового ускорения кривошипа,

а угол ₀ выбирается таким, при котором измеренные угловые скорости ₁( ₀) и ₂( ₀) максимально совпадают между собой, т.е.

Описание изобретения к патенту

Изобретение относится к измерению физических величин и может быть использовано в машиностроении, где применяются механизмы с переменным приведенным моментом инерции звеньев. Это металлорежущие и деревообрабатывающие станки, робототехника, горное и нефтедобывающее оборудование.

Технический результат изобретения - определение приведенного к заданной оси переменного момента инерции механизма как функции угла поворота звена приведения.

Известен способ определения момента инерции механизма, где исходным источником информации является время (Патент № 2019797, БИ № 17 за 1994 год).

Недостаток способа в том, что он применяется только для механизмов с постоянным моментом инерции.

Наиболее близкий по технической сущности способ определения приведенного момента инерции механизма заключается в изменении инерционных свойств механизма путем присоединения дополнительного маховика с известным моментом инерции и измерении угловой скорости звена приведения (Патент № 2025679, БИ № 24 за 1994 год).

Недостаток способа в том, что он не позволяет определить приведенный переменный момент инерции механизма как функцию угла поворота звена приведения. Дело в том, что приведенный переменный момент инерции является периодической функцией угла поворота звена приведения [1]. Закон сохранения момента количества движения в форме

J( ) ₁=J( ) ₂+J_{2 2},

может быть применен только при равенстве в выражениях J( ) ₁ и J( ) ₂ моментов инерции J( ) в обоих случаях. Но для этого необходимо контролировать угловую координату и только при одном и том же значении = ₀ можно говорить о применении закона сохранения количества движения.

Однако в описании способа контроль вообще не предполагается. Более того, ₁ и ₂ - это тоже переменные функции угловой координаты , например, из-за переменного момента инерции, имеющие в своем составе колебательную компоненту [1]

₁= ₁( ), ₂= ₂( )

В выражениях J( ) ₂( )и J_{2 2}( ) угловые скорости в каждом из этих выражений могут совпасть между собой при некотором ₁ случайно. Но это ₁ должно быть равно еще и ₀, чтобы можно было применять указанный выше закон.

Следовательно, согласование условий измерения необходимо проводить одновременно по скорости ₂( ) и углу поворота звена приведения. Только в этом случае верно равенство для моментов количества движения. Таким образом, предлагаемый способ реализуем, если J( ) величина постоянная и не зависит от . В этом случае угловые скорости не зависят от (от влияния переменного момента инерции) и можно говорить о монотонном режиме движения механизма и монотонно убывающем характере изменения скоростей ₁ и ₂, на чем и построен предложенный выше способ.

Заявленный технический результат достигается тем, что дополнительно измеряют в дискретной форме угол _i поворота звена приведения (i=0, 1, 2, N, i - порядковый номер отверстия на диске фотоэлектрического датчика), а также измеряют изменение углового ускорения ( _i) звена приведения, например кривошипа, вызванное присоединением пробного груза, а величину приведенного момента инерции J( ) определяют как функцию угла поворота звена приведения из решения численным методом дифференциального уравнения

с начальным условием

где угол ₀ выбирается таким, при котором измеренные угловые скорости ₁( ₀) и ₂( ₀) максимально совпадут между собой, т.е.

.

Величина J₀ - момент инерции пробного груза, закрепляемого на кривошипе; ₁( _i) и ₂( _i) - измеряемые одновременно с _i угловые скорости.

Для измерения углов, скоростей и ускорений применяется прецизионный фотоэлектрический способ, описанный в работе [2]. Значения угловых скоростей ₁( _i) и ₂( _i), как функций угла _i, получаются данным методом сразу в дискретной форме в виде таблицы соответствия, что удобно для операций численного дифференцирования и интегрирования.

Соотношение между двумя последующими значениями ₁ и _i+1 равно _i+1= _i+ , а - угол между двумя соседними отверстиями на диске 2 фотоэлектрического датчика (Фиг.1); N=200-500 - количество отверстий на диске 2, модулирующих световой поток.

Заявленный способ состоит в следующем.

Исследуемый механизм, например металлорежущий строгальный станок, показанный на фиг.1, работает на холостом ходу в установившемся режиме. Угловая скорость ₁ кривошипа 1 - звена приведения, меняется около среднего значения. Колебания скорости имеют установившийся характер.

Дифференциальное уравнение движения механизма, учитывающее зависимость приведенного момента инерции механизма J( ) от угла поворота кривошипа имеет вид [1]

Поскольку ₁= ₁( (t)) - сложная функция от t, то

Окончательно, уравнение принимает вид

Функция J( ) периодическая по (например, с периодом 2 ). В течение периода изменения J( ) измеряется угловая скорость кривошипа ₁= _i как функция угла _i в виде дискретных значений, которые заносятся в память ЭВМ. Здесь же находятся производные известным численным методом [3].

В итоге, измеренные и рассчитанные значения в памяти образуют таблицу соответствия:

в которой N строк.

Таким образом, в уравнении (3) известны функции и .

По завершении периода изменения функции J( ), измерения заканчиваются и механизм останавливается.

К звену приведения, в данном случае - кривошипу, жестко крепится маховик - инертная масса с известным моментом инерции J₀ и уравновешенная относительно оси вращения кривошипа. Уравновешивание необходимо для сохранения неизменными гравитационных сил веса звеньев исследуемого механизма, которые также приводятся к оси кривошипа в виде момента М( _i) и которые влияют на неравномерность угловой скорости ₁( _i). Момент М( _i) входит в состав правой части уравнения (3).

Станок включается в работу на холостом ходу в установившемся режиме. Средняя скорость кривошипа максимально должна совпадать со средней скоростью в первом эксперименте, т.е. _1cp= _2ср. Этим обеспечивается постоянство характеристики двигателя в окрестности _ср.

Необходимо отметить, что установка маховика изменила только инерционные свойства механизма на постоянную величину J₀. Все остальные силовые факторы остались без изменения.

Дифференциальное уравнение для этого механизма имеет вид

Установившиеся колебания скорости ₂( ) около среднего значения стали меньше по амплитуде и частоте.

В правой части (5) стоит характеристика двигателя, а также приведенный момент сил веса звеньев механизма.

Движение механизма в окрестности скорости _2сp= _1cp позволяет рассматривать правую часть в уравнении (5) совпадающей с правой частью уравнения (3). Тогда с учетом равенства: , получим

После преобразований получаем дифференциальное уравнение первого порядка

Приводим выражение (7) к стандартному виду, удобному для численного интегрирования

Уравнение (8) решается любым известным численным методом, например, по формуле Эйлера:

где - шаг численного интегрирования, равный углу между двумя соседними отверстиями на диске фотоэлектрического датчика.

Для решения (8) или (9) необходимо задать начальные условия, т.е. при некотором ₀ необходимо знать начальное значение момента инерции J( ₀). Для определения J( ₀) рассмотрим следующую производную: , где ( ) - угловое ускорение кривошипа, т.е. (см.формулу 2). Величина производной может быть найдена при любом конкретном значении ₀ из следующих значений для приращений и J:

Но J - это приращение (увеличение) инерционных свойств механизма на дополнительный известный момент инерции J₀, т.е. J=J₀.

Величина - это изменение углового ускорения кривошипа, вызванное изменением инерционных масс, которое определяется как разность угловых ускорений: ₁( ₀) - измеренное ускорение кривошипа до установки маховика,; ₂( ₀) - после установки

Значения ₁( ) и ₂( ) выбираются для одного и того же положения кривошипа ₀. Этим обеспечивается совпадение приведенных моментов от сил веса звеньев механизма. Кроме того, ₀ выбирается так, чтобы угловые скорости ₁( ₀) и ₂( ₀) максимально совпадали между собой. В итоге:

С другой стороны, частная производная - равна отношению производных:

Частная производная углового ускорения ( ) по равна

Функции и - находятся численным методом и производная может быть найдена для любого , в том числе для заданного ₀.

Из (13) находим

Определив , одновременно находится из (8) функция F( ₀, J( ₀)

Равенство (16) рассматриваем как уравнение относительно J( ₀), поскольку значения всех остальных функций для = ₀ известны

Это значение J( ₀) совместно с дифференциальным уравнением (8) однозначно определяют функцию изменения приведенного к оси кривошипа момента инерции J( ).

В качестве примера, алгоритм последовательного вычисления величины J( ) методом Эйлера следующий.

1. Определяется по экспериментальным данным для ₁( _i) и ₂( _i) в таблице (4) угол ₀, при котором | ₁( ₀)- ₂( ₀)| min.

2. Для этого ₀ определяем

по данным таблицы (4), (где использовались формулы (2), (11) и (14)). Номер итерации i полагается равным нулю (i=0).

3. По формуле (17) определяется J( ₀).

4. Это значение подставляется в правую часть итерационной формулы (9) вместо J( _i), где все остальные переменные уже известны (определены для ₀) как результаты измерения или расчетов и хранятся в таблице (4). По формуле (9) определяется величина J( ₁). Получено первое значение приведенного момента инерции.

5. Найденное значение J( ₁) подставляется в правую часть выражения (9), а все остальные значения переменных в правой части берутся из таблицы (4) экспериментальных данных теперь для = ₁ Вычисляется значение J( ₂) и т.д.

На Фиг.2 приведена рассчитанная таким образом функция переменного момента инерции механизма, показанного на Фиг.1. В данном случае N=240. Для наглядности на график выведены значения J( ) для 24 равноотстоящих положений кривошипа и, следовательно, цена одного деления по оси составляет 360°/24=15°.

Источники информации

1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1988, 639 с.

2. Киселев М.И., Козлов А.П., Морозов А.Н., Назолин А.А., Пронякин В.И., Соловьев А.В. Измерение периода вращения валопровода турбоагрегата фотоэлектрическим методом // Измерит. Техника. 1996. № 12. С.28-29.

3. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Гостехиздат, 1959.